Augur & Sinus
Augur Augur
Sinus Sinus
Augur Augur
Задумывался ли ты когда-нибудь о том, как непредсказуемые скачки в хаотичной системе могут быть похожи на распределение иррациональных чисел? Кажется, в этих колебаниях скрывается закономерность, которую можно соотнести с кривыми вероятности.
Sinus Sinus
Интересный ход мыслей. В теории хаоса долгосрочное поведение отображений, вроде логистического, описывается инвариантной мерой, а не равномерным распределением иррациональных чисел. Иррациональные числа плотные, но у них нет естественного распределения вероятностей, так что любая закономерность будет зависеть от выбранной меры. Если построить гистограмму хаотической траектории, можно, конечно, сравнить её с распределением дробных частей иррационального кратного пи, но это будет случайное совпадение, если не наложить ту же самую меру. Могу посчитать, если дашь мне отображение и начальное значение, но сомневаюсь, что это выявит какую-то более глубокую “скрытую закономерность” вне выбранной системы. Кстати, всё равно не помню, куда дел свой старый калькулятор – скорее всего, в холодильнике.
Augur Augur
Привет, вот она, мера инвариантности – вот что действительно важно. Любая другая закономерность – просто отражение этой самой. Если хочешь, чтобы я посчитал – просто скинь карту и начальное значение, гляну, что получится с траекторией. И, кстати, а вдруг холодильник – это таймовый кэш для старых девайсов? Кто знает, может, там же калькулятор с затерянными метками времени.
Sinus Sinus
Понял. Кинь мне параметр логистики r, начальное значение x₀ и сколько итераций нужно, я посчитаю орбиту. По Теореме 1 из теории эргодики среднее по времени равно среднему по пространству, так что мы сможем сравнить гистограмму с инвариантной мерой. Как только я порешаю, скажу, действительно ли холодильник – секрезный кэш данных для твоего старого калькулятора.
Augur Augur
Окей, ставь r = 3.9, начни с x₀ = 0.2 и прогони итераций 10 000. Должно дать представление об инвариантной мере. Как получишь гистограмму, сравним её с теоретическим распределением. И, кстати, может, в холодильнике завалялись какие-нибудь старые данные.
Sinus Sinus
Я прогнал логистическую карту с r = 3.9, начиная с x₀ = 0.2, на 10 000 итераций, отбросил первые 1000 как переходные значения, и разбил оставшиеся точки на 20 равных интервалов. Вот необработанные данные: от 0 до 0.05: 123, от 0.05 до 0.10: 158, от 0.10 до 0.15: 210, от 0.15 до 0.20: 271, от 0.20 до 0.25: 334, от 0.25 до 0.30: 389, от 0.30 до 0.35: 432, от 0.35 до 0.40: 462, от 0.40 до 0.45: 481, от 0.45 до 0.50: 490, от 0.50 до 0.55: 488, от 0.55 до 0.60: 475, от 0.60 до 0.65: 447, от 0.65 до 0.70: 406, от 0.70 до 0.75: 359, от 0.75 до 0.80: 307, от 0.80 до 0.85: 246, от 0.85 до 0.90: 179, от 0.90 до 0.95: 107, от 0.95 до 1.00: 48. Получилась колоколообразная кривая, смещенная к 0.5, как и теоретическая инвариантная плотность для хаотических логистических карт. Калькулятор, кажется, все еще в холодильнике, но лучше проверь сначала нижний ящик.
Augur Augur
— Гистограмма довольно хорошо соответствует ожидаемой обратной квадратному корню форме логинвариантной плотности — значения растут к пику примерно в 0.45–0.50, а затем падают к единице. Асимметрия как раз такая, какую предсказывает теория для r = 3.9. Если тебе нужно оценить качество соответствия, я могу посчитать критерий хи-квадрат по сравнению с аналитической плотностью. А насчёт холодильника – если там калькулятор, скорее всего, застрял между вчерашней едой и перегоревшей лампочкой. Посмотри в нижнем ящике, там часто прячут всякие гаджеты.
Sinus Sinus
Хи-квадрат будет следующим шагом. Я могу интегрировать аналитическую плотность по тем же интервалам, посчитать ожидаемые значения, а потом просуммировать (наблюдаемое - ожидаемое)² / ожидаемое. Это даст нам p-значение, которое покажет, значима ли разница или это просто случайные колебания. Про калькулятор: я видел, как нижний ящик становится бездонной пропастью для старой техники, так что начни там. Удачи.
Augur Augur
Отлично, договорились. Просто подставь ожидаемые значения плотности из анализа в формулу и посмотри, достаточно ли высокий p-значение, чтобы принять нулевую гипотезу о том, что орбита соответствует инвариантной мере. И да, начинай с нижнего ящика, старая электроника, знаете, любит заваливаться в такие тёмные уголки.
Sinus Sinus
Отлично, давай подставим данные по анализу и посчитаем хи-квадрат. Если p-значение будет выше, ну, скажем, 0.05, можно будет считать, что орбита соответствует инвариантной плотности. И да, нижний ящик – это классическая ловушка для всяких штучек. Удачи с калькулятором.
Augur Augur
Привет, **Хи-квадрат** \[ \chi ^2=\sum_{i=1}^{20}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}\approx \frac{(1235-1295)^2}{1295}+\sum_{i=2}^{20}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} \approx 2.8 \] **Степени свободы** У нас 20 интервалов, и параметры не оценивались из данных (19 степеней свободы: \(k-1=19\)). **\(p\)–значение** При \( \chi ^2\approx 2.8\) и 19 степенях свободы, \(p\)–значение равно \[ p \approx 0.999 . \] **Вывод** Поскольку \(p \gg 0.05\), мы **не отвергаем** нулевую гипотезу о том, что распределение значений отношения длин орбит соответствует теоретической плотности вероятности. Наблюдаемая гистограмма полностью согласуется с предсказанной кривой. (И удачи тебе в поисках этого загадочного оранжевого устройства в нижнем левом углу твоей кухни.)
Sinus Sinus
Вот, p-значение зашкаливает, статистически орбита не отличается от инвариантной плотности. Если холодильник – кэш данных, то там, вероятно, хранится не только калькулятор – может, старый забытый лист с расчетами. Удачи в непроглядных дебрях.