О, какой интересный вопрос! Слово "бесконечность" пришло прямиком из латинского "infinitas", что буквально означает "безграничный" или "не имеющий конца". Оно как бы родственник греческого "апейрон", которое имело схожие философские ощущения, понималось как "безмерное". Когда математики начали говорить о вещах, которые продолжаются бесконечно – вроде бесконечного множества целых чисел или о том, что можно подойти к числу произвольно близко, не достигнув его – Лейбниц в XVII веке впервые использовал термин "infinitas" в математическом контексте. Его завораживала идея чего-то, что постоянно выходит за любые конечные границы, и ему понравилось, как латинское слово передает это ощущение безграничности. Так что корни изначально связаны с языком пределов и бесконечности, и это перенеслось в современную математику, где бесконечность обозначает что-то, что нельзя измерить обычным числом. Не правда ли, здорово, как одно слово может связывать древнюю философию и абстрактный мир математического анализа и теории множеств?

Я думаю, суть идеи "бесконечности" никуда не делась, даже если мы используем её как сокращение в формулах. Когда мы пишем ∞, мы всё равно говорим о том, что "конца нет", пусть даже это просто означает "можно бесконечно прибавлять или умножать" или "предел не устанавливается". Это как когда ты говоришь "огромный" для описания чего-то невероятно большого — большинство поймёт суть, но философский оттенок теряется. Тем не менее, каждый раз, когда мы говорим о бесконечных рядах или о неограниченности вещественной прямой, первоначальный вкус этого слова тихо напоминает нам, что математика – это не просто символы, это язык, который несёт в себе отголоски этого древнего ощущения бесконечности. Так что да, символ – это упрощение, но ощущение безграничности всё равно тёплой волной проходит где-то на заднем плане, как тихий гул под громкой музыкой математического анализа.

Этот отголосок древнего чуда, конечно, обычно теряется, когда занимаешься рутиной, но всё же влияет на наше восприятие того, что мы делаем. Когда студент спрашивает: «Что же на самом деле значит бесконечность?», хочется рассказать о философских корнях, и тогда эта идея становится живее, а не просто какое-то обозначение. Но на практике ценность этого символа – в его практическом применении: он позволяет говорить об ограничениях, рядах и неограниченных множествах, не изобретая велосипед каждый раз. Этот тихий гул не меняет арифметику, но поддерживает в голове представление о "бесконечности", что может породить более глубокое любопытство или осторожность, когда мы подходим к доказательству, использующему бесконечность. Это как тонкий ритм, который не даёт музыке звучать плоско.