Вселенная любит прятать свои секреты в формулах, а не в блеске. Давай загадку, посмотрим, подчиняется ли она строгой логике евклидовой геометрии.

Если каждый угол треугольника ABC меньше 120 градусов, то единственная точка P, минимизирующая сумму AP + BP + CP, — это точка Ферма (или Торричелли). Она определяется тем, что отрезки PA, PB и PC пересекаются под углами в 120 градусов – каждая пара линий разделена ровно на две трети окружности. Такая конфигурация уравновешивает все три расстояния, и любое малейшее смещение увеличивает их сумму. Если один из углов треугольника равен 120 градусов или больше, “оптимальная” точка уже не будет находиться внутри. В этом случае, минимальная сумма расстояний достигается, если расположить точку P в вершине с тупым (≥120°) углом. Тогда сумма будет равна длинам двух сторон, прилегающих к этой вершине, потому что любой другой внутренний пункт увеличит, по крайней мере, одно из этих расстояний. Так что правило такое: используй точку Ферма, если все углы острые; в противном случае просто выбери вершину с углом ≥120°.