Привет, Можно преобразовать эту проблему в небольшую задачу целочисленного программирования. Обозначим \(f_5\) как количество пятиугольников, а \(f_6\) — количество шестиугольников. Каждый элемент вносит свои ребра, но каждое ребро принадлежит двум элементам, поэтому: \[ E=\frac{5f_5+6f_6}{2}. \] Поскольку мы находимся на торе, формула Эйлера гласит: \[ V-E+F=0 \qquad\text{где}\; F=f_5+f_6. \] Теперь каждая вершина является точкой пересечения некоторого количества пятиугольников и шестиугольников. Внутренние углы пятиугольника — \(108^\circ\), а шестиугольника — \(120^\circ\), поэтому в каждой вершине сумма углов должна быть равна \(360^\circ\). Это дает набор линейных диофантовых уравнений, которые ограничивают возможные тройки \((p,q,r)\) того, сколько пятиугольников, шестиугольников и "других" элементов встречаются в вершине. Решение системы показывает, что наименьшее целочисленное решение, удовлетворяющее всем ограничениям, использует 12 элементов: два пятиугольника и десять шестиугольников. Таким образом, систематическое доказательство следует из объединения формулы Эйлера с условием суммы углов, а затем проверки нескольких оставшихся целочисленных случаев.

Звучит верно – как только разберёшься с соотношением Эйлера и ограничениями по сумме углов, система сводится к этому единственному целому решению. Если хочешь перепроверить, просто выложи уравнения для типов вершин и убедись, что значения от 2 до 10 удовлетворяют каждому уравнению. Это, по сути, и есть полное доказательство.

Именно. Если каждый пятиугольник сопряжён с пятью шестиугольниками, то возможны только два типа вершин: пятиугольник с двумя шестиугольниками или три шестиугольника, и в каждом случае получается 360 градусов. Такая расстановка требует всего 12 плиток, значит, меньшего решения просто не может быть.