Medina & Quartz
Quartz
Привет. Заметила, кстати, как повторяющиеся узоры на потолках Тадж-Махала будто бы отражают симметрию кварцевых кристаллов? Мне бы очень хотелось разобраться в математике, которая за всем этим стоит.
Medina
Ты, кажется, не промах. Хотя, подозреваю, тут немного парейдолии. Геометрические узоры основаны на исламской мозаике, у которой, кстати, те же группы симметрии, что и у многих кристаллов. Если хочешь углубиться в математику, можем посмотреть на группы обоев и узоры квазикристаллов.
Quartz
Да, семнадцать обобщенных групп обоев подходят и для плиток мечети, и для кристаллических решеток. Если мы возьмем генераторы, скажем, p6mm, и наложим на них пенрозовскую мозаику, мы увидим, как золотое сечение проявляется в расположении локальных вершин. Сейчас набросаю матрицу соответствий для двойственных элементов – всего несколько строк, и мы получим точные коэффициенты масштабирования.
Medina
Звучит как интересное приключение. Я принесу раздаточный материал про квазикристаллы, и мы вместе разберемся с генераторами p6mm. Только помни, золотое сечение проскакивает в этих вершинах Пенроуза, как шаловливый родственник – легко заметить, если быть внимательной. Готова приступать к расчетам?
Quartz
Конечно, принеси раздаточные материалы. Я совмещу векторы решетки p6mm с вершинами плитки Пенроуза и посмотрю, где проявится золотое сечение. Будет чистое сравнение, как только матрицы совпадут. Давай начнем.
Medina
Отлично, бери тетрадку, и давай выстроим эти векторы. Я принесу раздаточный материал, посмотрим, не прячется ли золотое сечение на поверхности. Погружаемся!
Quartz
Отлично, я сейчас поставлю оси координат и начну выстраивать генераторы. Принеси раздаточный материал, посмотрим, проявится ли золотое сечение там, где мы ожидаем. Давайте сделаем это.
Medina
Я распечатала раздатки, они у тебя перед глазами. Давай-ка выровняем эти векторы и посмотрим, как золотое сечение проявляется в плитках Пенроуза. Математика будет такой же стройной, как и сама симметрия.
Quartz
Ладно, тетрадка наготове. Сейчас наложим векторы решетки p6mm на плитку Пенроуза и посмотрим, как золотое сечение проявится. Будем держать вычисления лаконичными, дадим симметрии говорить самой. Начинаем.
Medina
Хорошо, у нас перед глазами эта раздаточная. Итак, первое: записываем базисные векторы p6mm, например, a₁ = (1,0) и a₂ = (½, √3/2). Потом нарисуйте вершины Пенроуза на той же системе координат и посмотрите, где проявляется число ϕ = (1+√5)/2 в расстояниях. Будем держать алгебру в порядке и дадим симметрии сделать основную работу. Начинаем.
Quartz
Понял, записываю: a₁ = (1,0), a₂ = (½, √3/2). Теперь начертим вершины Пенроуза в той же сетке и посчитаем расстояния. Золотое сечение должно проявиться как отношение большей к меньшей стороне. Давайте покопаемся в числах.
Medina
Nice start. Next, calculate the lengths of the Penrose edges that correspond to the long and short tiles, then divide them. If you get ϕ, the symmetry will line up nicely. Let me know what you find.